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影片字幕整理
第一部:
中文字幕:
該機構的提示框由兩個數字簡單描述，相對於絕對坐標系的坐標 x 和 y。
所以，這裡的問題是有了x和y條件，我們要求解連接角q1和q2的值為多少。
我們利用特定幾何來解決這個問題。
我們從一個簡單的結構開始。
我們將在機構上覆蓋紅色三角形。
我們知道最終坐標是x，y，所以三角形的垂直高度為y，水平寬度為x。
然後，利用Pythagorean theorem(畢氏定理)，我們可寫出 r² = x ²+ y²。
到目前為止都很容易。
現在，我們查看此處凸顯的紅色三角形，並且要確定α角。
為了做到這一點，我們須使用餘弦定理。
如果你對餘弦定理有點生疏，這裡可以幫助你複習一下。
有一個任意三角形。
三角形中沒有任何的直角，將這邊的角度標為小a，而對邊的長度標為A。
我們再對這邊和這個角，以及這邊和這個叫做同樣的事。
以此類推，所有邊都標記為A, B, C，角都標記為a, b, c 。
餘弦定理就是這種關係。
它有點像畢達哥拉斯定理，不同之處是末端多出了cos a。
將餘弦定理套用於剛剛看到的特定三角形。
寫下此特殊關係很簡單。
我們可分離出 cosα ，只需要得知α角度作為條件。它是根據恆定連桿長度A1和A2以及最終執行器的位置x和y定義。
我們可寫出角度α和q2之間的簡單關係。並且我們從餘弦函數中得知cos q2必須等於 –cos α。
這次寫出餘弦在連接角q2的表達式。
我們繪製另一個紅色三角形，並應用三角函數。
如果我們知道q2，就可知道這個長度和這個三角形的長度。我們可以在連接角q2寫出正弦關係。
現在我們考慮這個大一點的三角形，它角度是β，此三角形的邊長由藍色表示。且三角形另一邊長度是這個。
我們可在此根據參數寫出角度β的表達式。回到之前畫的紅色三角形，我們可建立出q1和β的關係。
引入另一個角度ɣ，可寫出角度ɣ和提示框座標x和y之間的關係。現在我們可建構出角度β和ɣ與連接角度q1之間的關係。而且，整個關係看起來像這樣。
相當複雜的關係，它提供連接的角度，即最終執行器坐標 y 和 x 的 q1，以及一系列常數 a1 和 a2，它也是第二個關節角度 q2 的函數。
所以，總結我們在這裡得出了什麼。我們有q2餘弦方程式與q1方程式。餘弦函數在0對稱。
所以我們知道cosq2的值可能為正角和負角。我們選擇正角，表示我可以寫出此表達式。
現在我們能用逆向運動學來解決雙連桿機構。我們有兩個連接角 q1 和 q2 的表達式，根據最終執行器的x 和 y 以及一系列常數。
你要注意到兩方程式不是獨立的。事實上，q1方程式取決於q2的解。在這情況下，q2為負，我們將在q2反餘弦的解前面加上負號。
我們需求解q1，因此采用這個特定的三角形，之前求解的角度β以及根據y和x定義的角度ɣ。
q1、ɣ和β之間的關西，和之前求的不同。涉及到符號的變化。
然後我們可代換之前所有等式，並求得此q1方程式。同樣，這裡的符號發生了變化。先前，這是個負號。
這是雙連桿機構在此逆向運動學的總形式，其中q2為負。
讓我們比較兩個解決方案，q2為正和q2為負的情況。
第二部:
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中文字幕:
在這裡，我們有與前一篇相同的兩連桿機械手臂，但這次我們將使用分析方法來解決它，意味著我們將更多地依賴代數，特別是使用線性代數而不是幾何。
我們有一個表達式 E，它是表示機械手臂最終位置的齊次變換式，我們在上一課中看到了這一點，我們可以將最終位置寫為一系列基本齊次變換式。
Q1 旋轉，A1 沿 X 方向平移，Q2 旋轉，然後 A2 沿 X 方向平移。
如果我將其展開，將所有變換相乘，就會得到此處所示的表達式 E ;它是一個三乘三的齊次變換矩陣，表示
機械手臂的最終的位置。
現在對於這個特殊的兩連桿機器人，我們只對它的最終位置感興趣，與它有關的是 X 和 Y 坐標，它們是齊次變換矩陣中的這兩個元素，所以我將把它們複製出來。
所以這裡又是我們對 X 和 Y 的表達式，我們要做的是一個相當常見的技巧，我們要將它平方並將這兩個方程相加，我得到一個看起來像這樣的關係式。
現在我可以根據最終位置X和Y以及機械手臂的常數A1及A2來求出關節角度Q2。
現在我要做的是應用角度之和的特性。
我將展開這些項，Q1 的正弦加 Q2 或 Q1 的餘弦加 Q2，為了讓生活更輕鬆一點，我將建立一些分部，所以只要有 cos Q2，我會將其取代為C2並且在有正弦Q2的地方，我會將其取代為S2。
當人們解決機械手臂運動學方程式時，這是一個相當常見的快速記法。
這是進行替換後的方程式。
看看這兩個方程式，我可以看到它們屬於一個眾所周知的形式，對於這種形式，有一個淺顯易見的解決方案。
所以我將只考慮其中一個方程，Y 的方程，並使用我們眾所周知的恆等式和它的解，我可以確定變量小 a、小 b 和小 c 的值，一旦我確定了這些，然後我可以寫下 Q1 的解決方程，在這種特殊情況下，x 相當於 theta。
這裡再次是我們對 Q1 的表達，從上一張幻燈片複製過來，我們可能還記得在我們早期的說明中，確定了這種特殊關係； X 平方加 Y 平方等於這個特定的複雜表達式。
因此，我可以將其替換並進行一些簡化，最終得到 Q1 的這個稍微不那麼複雜的表達式。
這與我在上一節中遵循幾何方法求出的表達式一模一樣。
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